determine (F(s)) ou (f(t)), conforme indicado.
\mathscr{L}{-1}\left{\frac{e{-s}}{s(s+1)}\right}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
\mathscr{L}^{-1}\!\biggl\{\frac{e^{-s}}{s(s+1)}\biggr\}.
O conteúdo envolvido é a propriedade de deslocamento no tempo (teorema do atraso) e o uso de frações parciais para inverter \tfrac{1}{s(s+1)}.

Passo 2

Primeiro, achamos a transformada inversa de
F(s)=\frac{1}{s(s+1)}.
Fazendo frações parciais, escrevemos
\frac{1}{s(s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}.
Como
A(s+1)+Bs=1,
igualando coeficientes vem A=1 e A+B=0\Rightarrow B=-1. Logo
\frac{1}{s(s+1)}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}.
Invertendo cada termo, obtemos
f_1(t)=\mathscr{L}^{-1}\!\bigl\{\tfrac{1}{s}\bigr\}-\mathscr{L}^{-1}\!\bigl\{\tfrac{1}{s+1}\bigr\} =1 - e^{-t}.

Passo 3

Agora aplicamos o teorema do atraso: se
\mathscr{L}\{f_1(t)\}=F(s),
então
\mathscr{L}^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}=f_1(t-a)\,u(t-a).
No nosso caso a=1, logo
\mathscr{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{e^{-s}}{s(s+1)}\Bigr\} =f_1(t-1)\,u(t-1) =(1 - e^{-(t-1)})\,u(t-1).

Resposta

f(t)=(1 - e^{-(t-1)})\,u(t-1).

Exercícios relacionados