determine (F(s)) ou (f(t)), conforme indicado.
\mathscr{L}{-1}\left{\frac{\left(1+e{-2 s}\right)^{2}}{s+2}\right}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{(1+e^{-2s})^{2}}{s+2}\Bigr\}.
O conteúdo da matéria envolve a propriedade de linearidade da transformada de Laplace e a segunda propriedade de deslocamento no tempo (time–shift).

Passo 2

Primeiro ampliamos o quadrado no numerador:
(1+e^{-2s})^{2} = 1 + 2e^{-2s} + e^{-4s}.
Logo,
F(s)=\frac{(1+e^{-2s})^{2}}{s+2} =\frac{1}{s+2} \;+\;2\,\frac{e^{-2s}}{s+2}\;+\;\frac{e^{-4s}}{s+2}.

Passo 3

Sabemos que
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s+2}\Bigr\} = e^{-2t},
e que, em geral, se
\mathscr{L}\{g(t)\}=G(s),
então
\mathscr{L}^{-1}\{e^{-a s}G(s)\} = u(t-a)\,g(t-a),
onde u(t) é o degrau unitário.

Passo 4

No nosso caso G(s)=1/(s+2) e g(t)=e^{-2t}. Aplicando a propriedade de deslocamento a cada termo:
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s+2}\Bigr\}=e^{-2t},
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{2\,\frac{e^{-2s}}{s+2}\Bigr\} =2\,u(t-2)\,e^{-2(t-2)},
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{e^{-4s}}{s+2}\Bigr\} =u(t-4)\,e^{-2(t-4)}.

Resposta

f(t)=e^{-2t}\;+\;2\,u(t-2)\,e^{-2(t-2)}\;+\;u(t-4)\,e^{-2(t-4)}.

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