Verifique se as funções abaixo possuem ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de
ou seja, determinar se cada ponto crítico é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela. O conteúdo aqui é cálculo de funções de duas variáveis: vamos calcular derivadas parciais, achar pontos críticos e usar o teste da Hessiana.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
Isso dá
ou
. Logo os pontos críticos são
Passo 4
Calculamos as derivadas de segunda ordem e montamos a Hessiana:
O determinante da Hessiana é
Passo 5
Avaliando
e
em cada ponto:
Para
:
logo é ponto de sela.
Para
:
e
como
e
, é máximo local.
Resposta
O ponto
é ponto de sela.
O ponto é ponto de máximo local.
O ponto