Verifique se as funções abaixo possuem ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
f(x, y)=3 x y-x^{3}-y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de
f(x,y)=3\,x\,y - x^3 - y^2
ou seja, determinar se cada ponto crítico é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela. O conteúdo aqui é cálculo de funções de duas variáveis: vamos calcular derivadas parciais, achar pontos críticos e usar o teste da Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
\frac{\partial f}{\partial x}=3\,y - 3\,x^2, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=3\,x - 2\,y.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
3\,y - 3\,x^2 = 0, \quad 3\,x - 2\,y = 0.
Da segunda equação vem y=\tfrac{3}{2}x. Substituindo na primeira:
3\bigl(\tfrac{3}{2}x\bigr) - 3\,x^2 = 0 \;\Longrightarrow\; \tfrac{9}{2}x - 3\,x^2 = 0 \;\Longrightarrow\; x\bigl(\tfrac{9}{2} - 3\,x\bigr)=0.
Isso dá x=0 ou x=\tfrac{3}{2}. Logo os pontos críticos são
(0,0) \quad\text{e}\quad \bigl(\tfrac{3}{2},\tfrac{9}{4}\bigr).

Passo 4

Calculamos as derivadas de segunda ordem e montamos a Hessiana:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -6\,x, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = 3.
O determinante da Hessiana é
D(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\,\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\Bigr)^2 = (-6\,x)(-2) - 3^2 = 12\,x - 9.

Passo 5

Avaliando D e \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} em cada ponto:
Para (0,0):
D(0,0)=12\cdot0-9=-9<0,
logo é ponto de sela.
Para \bigl(\tfrac{3}{2},\tfrac{9}{4}\bigr):
D\bigl(\tfrac{3}{2},\tfrac{9}{4}\bigr) =12\cdot\tfrac{3}{2}-9=18-9=9>0,
e
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\bigl(\tfrac{3}{2},\tfrac{9}{4}\bigr) =-6\cdot\tfrac{3}{2}=-9<0,
como D>0 e \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}<0, é máximo local.

Resposta

O ponto (0,0) é ponto de sela.
O ponto \bigl(\tfrac{3}{2},\tfrac{9}{4}\bigr) é ponto de máximo local.

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