(2,0) O número 15 possui inverso módulo 72 ? Se sim, determine esse inverso. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se o número 15 tem inverso multiplicativo módulo 72 e, se sim, pede que esse inverso seja determinado.
Informações dadas:
  • O inteiro cujo inverso queremos é 15.
  • O módulo é 72.
    A pergunta específica é: existe x\in\mathbb{Z} tal que 15x \equiv 1 \pmod{72}? Se sim, encontrar um tal x.

Passo 2

Regra importante (explicada de forma simples): um inteiro a tem inverso multiplicativo módulo n se, e somente se, \gcd(a,n)=1.
Por quê? Porque se existe x com
15x \equiv 1 \pmod{72},
então existem inteiros x,y tais que
15x - 72y = 1.
Isto é uma combinação linear de 15 e 72 que dá 1; a existência dessa combinação implica que o maior divisor comum de 15 e 72 divide 1, logo deve ser 1. Inversamente, se \gcd(15,72)=1, o algoritmo euclidiano estendido fornece inteiros x,y com 15x+72y=1, de onde 15x\equiv1\pmod{72} e x é o inverso.

Passo 3

Vamos calcular \gcd(15,72) pelo algoritmo de Euclides, passo a passo.
72 = 15\cdot 4 + 12
15 = 12\cdot 1 + 3
12 = 3\cdot 4 + 0
Quando o resto vira 0, o último resto não nulo é o \gcd. Portanto
\gcd(15,72)=3.

Passo 4

Interpretação do resultado: \gcd(15,72)=3\neq1. Pelo argumento do Passo 2, isso impede a existência de um inteiro x tal que 15x\equiv1\pmod{72}. Outra forma de ver isso é observar que qualquer combinação linear 15x-72y é múltipla de 3 (porque 3 divide tanto 15 quanto 72), então não pode ser igual a 1 (que não é múltiplo de 3). Logo é impossível obter 1 como combinação linear de 15 e 72.
Para completar a intuição, da substituição inversa do algoritmo de Euclides obtemos também a representação do \gcd como combinação linear:
3 = 15 - 12\cdot 1
e como 12 = 72 - 15\cdot 4,
3 = 15 - (72 - 15\cdot 4) = 15\cdot 5 - 72\cdot 1.
Isto mostra 15\cdot 5 \equiv 3 \pmod{72}. Se houvesse inverso de 15, multiplicando essa congruência por ele obteríamos 1\equiv 3\cdot(\text{algo})\pmod{72}, o que é impossível porque 3 não divide 1.

Passo 5

Conclusão e justificativa clara: como \gcd(15,72)=3\neq1, o número 15 não possui inverso módulo 72. (Se \gcd fosse 1, aplicaríamos o algoritmo euclidiano estendido para achar o inverso.)

Resposta

Não, 15 não possui inverso módulo 72, pois \gcd(15,72)=3\neq1.

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