(2,0)Resolva os itens a seguir utilizando o Algoritmo de Euclides ou propriedades de inversos:
(a) Encontre o inverso multiplicativo de [22] módulo 81 .
(b) Resolva a congruência linear: 22 x \equiv 10(\bmod 81).

Passo 1

O enunciado dá duas tarefas com módulo 81:
  • (a) Encontrar o inverso multiplicativo de [22] módulo 81.
  • (b) Resolver a congruência linear \,22x \equiv 10 \pmod{81}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O número que aparece como coeficiente é 22.
  • O módulo é 81.
  • Na parte (a) pede-se um y tal que [22]\cdot[y]=[1] em \mathbb{Z}_{81}.
  • Na parte (b) pede-se os x (classe módulo 81) que satisfazem a congruência dada.

Passo 2

O que é um inverso multiplicativo em módulo?
  • Para um inteiro a e um módulo m, um inverso multiplicativo de [a] modulo m é uma classe [b] tal que
[a]\,[b]=[1]\quad\text{em }\mathbb{Z}_m,
ou seja, a b \equiv 1 \pmod{m}.
  • Importante: um inverso existe se e só se \gcd(a,m)=1. Então o primeiro passo prático é calcular \gcd(22,81) usando o Algoritmo de Euclides.

Passo 3

Calcular \gcd(22,81) com o Algoritmo de Euclides (divisões sucessivas):
\begin{aligned} 81 &= 3\cdot 22 + 15,\\\\ 22 &= 1\cdot 15 + 7,\\\\ 15 &= 2\cdot 7 + 1,\\\\ 7 &= 7\cdot 1 + 0. \end{aligned}
A última sobra não-nula é 1, logo
\gcd(22,81)=1.
Como \gcd(22,81)=1, o inverso multiplicativo de [22] modulo 81 existe e podemos obtê-lo via o Algoritmo de Euclides estendido (fazendo as substituições para expressar 1 como combinação linear de 22 e 81).

Passo 4

Executar a volta do Algoritmo de Euclides (substituições) para escrever 1 como combinação linear de 22 e 81.
Partimos de
1 = 15 - 2\cdot 7.
Mas 7 e 15 vêm das divisões anteriores:
7 = 22 - 1\cdot 15,
então substituindo:
1 = 15 - 2(22 - 1\cdot 15) = 15 - 2\cdot 22 + 2\cdot 15 = 3\cdot 15 - 2\cdot 22.
Agora substituímos 15 pela expressão obtida da primeira divisão:
15 = 81 - 3\cdot 22,
portanto
1 = 3(81 - 3\cdot 22) - 2\cdot 22 = 3\cdot 81 - 9\cdot 22 - 2\cdot 22 = 3\cdot 81 - 11\cdot 22.

Passo 5

A expressão final mostra
1 = (-11)\cdot 22 + 3\cdot 81.
Isto significa que um coeficiente s com 22s + 81t = 1 é s=-11. Em termos de classes módulo 81, s representa o inverso de [22] porque
22\cdot(-11) \equiv 1 \pmod{81}.
Convertendo -11 para a classe representativa entre 0 e 80:
-11 \equiv 81 - 11 = 70 \pmod{81}.
Portanto a classe [70] é um inverso de [22] módulo 81.

Passo 6

Verificação rápida (para ter confiança): calcular 22\cdot 70 e reduzir módulo 81:
22\cdot 70 = 1540.
Dividindo 1540 por 81: 81\cdot 19 = 1539, resta 1. Logo
22\cdot 70 \equiv 1 \pmod{81},
confirmação que [70] é realmente o inverso de [22].

Passo 7

Usar o inverso para resolver a congruência \,22x \equiv 10 \pmod{81}. Como [70] é o inverso de [22], multiplicamos ambos os lados da congruência por [70]:
x \equiv 70\cdot 10 \pmod{81}.
Calcular 70\cdot 10 = 700. Reduzir 700 módulo 81: 81\cdot 8 = 648, resto 700-648=52. Assim a solução (como classe módulo 81) é x \equiv 52 \pmod{81}.

Resposta

(a) [70]
(b) x \equiv 52 \pmod{81}

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