Determine se o conjunto (1,0,0),(0,1,0),(1,1,1) é uma base para R^3.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de três vetores em R^3:
v1=(1,0,0), v2=(0,1,0), v3=(1,1,1),
e pede para determinar se eles formam uma base de R^3.
Como o número de vetores é igual à dimensão do espaço, basta verificar se eles são linearmente independentes (caso sejam, eles também geram R^3).

Passo 2

Para testar a independência, montamos a matriz cujas colunas são v1,v2,v3:
A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1

Passo 3

Calculamos o determinante de A. Como A é triangular superior, vale
det(A)=1cdot1cdot1=1neq0

Passo 4

Como det(A)neq0, os vetores são linearmente independentes. Logo, tendo três vetores em R^3 e sendo independentes, eles formam uma base de R^3.

Resposta

Sim, (1,0,0),(0,1,0),(1,1,1) é uma base de R^3.

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