Resolva as seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias. Para resolver, vamos precisar identificar o tipo de equação, encontrar a solução geral usando métodos de equações lineares de coeficientes constantes e aplicar um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação ao tempo, e
é a primeira derivada. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver, vamos achar as raízes da equação característica associada:
Isso é obtido substituindo
por
e
por
.
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Portanto, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Simplificando:
Aqui,
e
são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais, se forem fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação é
onde
e
são constantes.