Resolva as seguintes equações diferenciais.
d^2 Pd t^2-18 d Pd t+81 P=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
d^2Pdt^2 - 18,dPdt + 81,P = 0
O método padrão é assumir uma solução do tipo P(t)=e^rt e obter a equação característica.

Passo 2

Supondo P(t)=e^rt, temos
dPdt=r,e^rt, d^2Pdt^2=r^2e^rt
Substituindo na equação diferencial resulta a equação característica
r^2 - 18r + 81 = 0

Passo 3

Resolvendo
r^2 - 18r + 81 = (r-9)^2 = 0
vemos que há uma raiz dupla r=9.

Passo 4

Para uma raiz dupla r=9 da característica, a solução geral da equação diferencial é
P(t) = l(C1 + C2,tr)e^9t,
onde C1 e C2 são constantes de integração determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

P(t) = l(C1 + C2,tr)e^9t

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