Determine se o conjunto B é uma base para o espaço vetorial V.
(c) V=M_{2,2} e B=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ 1 & -1\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se B é uma base do espaço vetorial V=M_{2,2}. Para isso precisamos lembrar que uma base de um espaço de dimensão n deve ter exatamente n vetores (e ser linearmente independente e gerar todo o espaço).

Passo 2

O espaço M_{2,2} das matrizes 2\times2 sobre um corpo tem dimensão
\dim(M_{2,2}) = 2 \times 2 = 4.

Passo 3

O conjunto B fornecido tem apenas três matrizes:
B = \Bigl\{\, \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & -1\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & -1\end{pmatrix} \Bigr\},
ou seja, \lvert B\rvert = 3.

Passo 4

Para ser base de M_{2,2}, um conjunto de vetores deve ter exatamente 4 elementos. Como \lvert B\rvert = 3 < 4, B não pode gerar todo o espaço M_{2,2} e, portanto, não é base.

Resposta

O conjunto B não é base de V=M_{2,2}.

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