Determine se o conjunto dado é uma base para o espaço vetorial indicado.
a.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é uma base de , o espaço dos polinômios de grau . Lembre que para ser base um conjunto deve ser formado por vetores linearmente independentes e ter cardinalidade igual à dimensão do espaço.
Passo 2
A dimensão de é . O conjunto dado tem vetores, logo será base se, e somente se, for linearmente independente.
Passo 3
Para testar independência, suponha uma combinação linear nula:
Expandindo e agrupando termos semelhantes obtemos
Isso gera o sistema
Da segunda equação vem c1=0. Da terceira, c2=-c3. Substituindo na primeira:
(-c3)-5c3=-6c3=0;Longrightarrow;c3=0,
logo c2=0.
Passo 4
Só existe a solução trivial c1=c2=c3=0, portanto os três vetores são linearmente independentes. Como há 3 vetores em um espaço de dimensão 3, eles formam uma base de P2.
Resposta
Sim. O conjunto -3x,;1+x^2,;x^2-5 é uma base de P2.