Determine se o conjunto dado é uma base para o espaço vetorial indicado.
a. Em P2,-3 x, 1+x^2, x^2-5

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
-3x,;1+x^2,;x^2-5
é uma base de P2, o espaço dos polinômios de grau <=2. Lembre que para ser base um conjunto deve ser formado por vetores linearmente independentes e ter cardinalidade igual à dimensão do espaço.

Passo 2

A dimensão de P2 é dim P2=3. O conjunto dado tem 3 vetores, logo será base se, e somente se, for linearmente independente.

Passo 3

Para testar independência, suponha uma combinação linear nula:
c1(-3x)+c2(1+x^2)+c3(x^2-5)=0
Expandindo e agrupando termos semelhantes obtemos
-3c1,x + c2 + c2x^2 + c3x^2 -5c3 =(c2-5c3) +(-3c1)x + (c2+c3)x^2=0
Isso gera o sistema
c2-5c3=0, -3c1=0, c2+c3=0
Da segunda equação vem c1=0. Da terceira, c2=-c3. Substituindo na primeira:
(-c3)-5c3=-6c3=0;Longrightarrow;c3=0,
logo c2=0.

Passo 4

Só existe a solução trivial c1=c2=c3=0, portanto os três vetores são linearmente independentes. Como há 3 vetores em um espaço de dimensão 3, eles formam uma base de P2.

Resposta

Sim. O conjunto -3x,;1+x^2,;x^2-5 é uma base de P2.

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