Determine se o conjunto de vetores dado é linearmente dependente ou independente.
d. (r-1 0 11),(r7 -20 -29),(r1 -5 1)

Passo 1

Temos os vetores em R^3:
v1 = -1011, v2 = 7-20-29, v3 = 1-51
Queremos saber se eles são linearmente independentes, ou seja, se a única solução da combinação
c1,v1 + c2,v2 + c3,v3 = 0
é c1=c2=c3=0. Para isso, montamos o sistema homogêneo e verificamos se existe solução não-trivial.

Passo 2

Escrevendo c1,v1 + c2,v2 + c3,v3 = 0 coordenada a coordenada, obtemos as equações
-,c1 + 7,c2 + c3 = 0,
-20,c2 - 5,c3 = 0,
11,c1 - 29,c2 + c3 = 0

Passo 3

Da segunda equação temos
-20,c2 - 5,c3 = 0 Longrightarrow 4,c2 + c3 = 0 Longrightarrow c3 = -4,c2
Substituindo na primeira:
-,c1 + 7,c2 + (-4,c2) = 0 Longrightarrow -,c1 + 3,c2 = 0 Longrightarrow c1 = 3,c2
Finalmente, ao colocar c1=3c2 e c3=-4c2 na terceira equação, vemos que ela se anula identicamente, mostrando consistência e existência de solução não-trivial.

Passo 4

Como conseguimos c1=3c2, c3=-4c2 com c2neq0, há combinação linear não-trivial. Logo os vetores são linearmente dependentes. Uma relação explícita é
3,v1 + 1,v2 - 4,v3 = 0

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes (relação: 3,v1 + v2 - 4,v3 = 0).

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