Determine se o conjunto dado de vetores geram o espaço vectorial dado.
h. Em M22,(ll1 & 0 1 & 0),(ll1 & 2 0 & 0),(cc4 & -1 3 & 0),(cc-2 & 5 6 & 0)

Passo 1

Resumo do enunciado: estamos em M2times2(R), que é o espaço de todas as matrizes 2times2 (dimensão 4), e queremos ver se o conjunto
A1=1 & 01 & 0,; A2=1 & 20 & 0,; A3=4 & -13 & 0,; A4=-2 & 56 & 0
gera todo M2times2. A ideia é mostrar que falta ao menos uma direção (por exemplo, a matriz que tenha entrada não nula no local (2,2)).

Passo 2

Considere uma combinação linear genérica
alpha A1 + beta A2 + gamma A3 + de<a A4
Observe que o elemento na posição (2,2) de cada Ai é zero. Logo, em qualquer combinação
(alpha A1 + beta A2 + gamma A3 + de<a A4)2,2 = alphacdot 0 + betacdot 0 + gammacdot 0 + de<acdot 0 =0

Passo 3

Para gerar todo M2times2 precisaríamos, por exemplo, da matriz
E22=0 & 00 & 1,
que tem (2,2)-entrada igual a 1. Mas nenhuma combinação dos Ai consegue produzir um 1 ali, pois vimos que essa entrada fica sempre zero.

Resposta

O conjunto não gera M2times2(R).

Exercícios relacionados