Encontre uma base para o espaço solução do sistema homogêneo dado.
b.
r 2 x+3 y-4 z=0 x-y+z=0 2 x+8 y-10 z=0

Passo 1

O enunciado pede para achar uma base do espaço solução de um sistema homogêneo de três equações lineares em três incógnitas. Vamos usar eliminação de Gauss para encontrar a forma escalonada, expressar a solução em parâmetros e extrair um vetor gerador.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e aplicamos operações elementares para escalar:
[ccc|c 2 & 3 & -4 & 0 1 & -1 & 1 & 0 2 & 8 & -10 & 0 ]
  1. Troque R1 com R2:
[ccc|c 1 & -1 & 1 & 0 2 & 3 & -4 & 0 2 & 8 & -10 & 0 ]
  1. Zere as entradas abaixo de a11=1:
    ;R2 R2-2R1 e R3 R3-2R1
[ccc|c 1 & -1 & 1 & 0 0 & 5 & -6 & 0 0 & 10 & -12 & 0 ]
  1. Zere a entrada a32 usando R2:
    ;R3 R3-2R2
[ccc|c 1 & -1 & 1 & 0 0 & 5 & -6 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 3

Da forma escalonada temos as equações
x - y + z = 0, 5y - 6z = 0
Escolhemos z como parâmetro livre, digamos z = t.
Da segunda equação vem
y = 65,t
Da primeira,
x = y - z = 65t - t = 15t
Logo o vetor solução é
l(x,y,zr) = tl(tfrac15,tfrac65,1r)

Passo 4

Podemos reescrever t(tfrac15,tfrac65,1) como um múltiplo escalar de (1,6,5), basta tomar s = t/5. Assim o espaço solução é de dimensão 1, gerado por
(1,6,5)

Resposta

Uma base do espaço solução é
(1,6,5)

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