Determine se o conjunto dado é uma base para o espaço vetorial indicado.
b. Em P2, 1+3 x+7 x^2, 5+12 x+35 x^2, 8+5 x-12 x^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
,1+3x+7x^2,;5+12x+35x^2,;8+5x-12x^2
é uma base de P2. Como dim(P2)=3, basta mostrar que esses três polinômios são linearmente independentes. Faremos isso montando a matriz de suas coordenadas e calculando seu determinante.

Passo 2

Cada polinômio fornece um vetor de coordenadas na base canônica 1,x,x^2. Assim, temos a matriz
A = 1 & 5 & 8 3 & 12 & 5 7 & 35 & -12 ,
cujas colunas são, respectivamente, (1,3,7)^T, (5,12,35)^T e (8,5,-12)^T.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de A:
det(A) = 1l(12cdot(-12)-5cdot35r) -5l(3cdot(-12)-5cdot7r) +8l(3cdot35-12cdot7r)
Agora, cada parte:
12cdot(-12)-5cdot35 = -144 -175 = -319,
3cdot(-12)-5cdot7 = -36 -35 = -71,
3cdot35-12cdot7 = 105 -84 = 21
Logo,
det(A) = 1cdot(-319) -5cdot(-71) +8cdot21 = -319 +355 +168 = 204
Como det(A)=204neq0, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Visto que há três vetores em um espaço de dimensão 3 e eles são linearmente independentes, eles formam de fato uma base de P2.

Resposta

O conjunto dado é uma base de P2.

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