Encontre uma base para o espaço solução do sistema homogêneo dado.
c.
r 2 x-6 y+4 z=0 -x+3 y-2 z=0 -3 x+9 y-6 z=0

Passo 1

O enunciado pede uma base para o espaço das soluções do sistema homogêneo
2x - 6y + 4z = 0, -,x + 3y - 2z = 0, -3x + 9y - 6z = 0
Aqui o conteúdo é resolução de sistema linear homogêneo, e vamos usar eliminação de Gauss para determinar o posto e as variáveis livres.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e aplicamos operações de linha para zerar as linhas redundantes. Começando por
[ccc|c 2 & -6 & 4 & 0 -1 & 3 & -2 & 0 -3 & 9 & -6 & 0 ],
fazemos
R1 R1 + 2,R2, R3 R3 - 3,R2
Isso leva a
[ccc|c 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 3 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 3

Da matriz reduzida vemos que só sobra a equação pivô
-,x + 3y - 2z = 0
Logo o posto é 1 e temos 3-1=2 variáveis livres.

Passo 4

Escolhemos como variáveis livres y = s e z = t. Da equação pivô
-,x + 3s - 2t = 0 Longrightarrow x = 3s - 2t

Passo 5

Escrevendo o vetor solução (x,y,z) em função de s,t:
(x,y,z) = (3s-2t,;s,;t) = s,(3,1,0) ;+; t,(-2,0,1)
Logo uma base do espaço solução é
, (3,1,0),;(-2,0,1)

Resposta

, (3,1,0),;(-2,0,1)

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