Determine se o conjunto de vetores dado é linearmente dependente ou independente.
e. (r1 -1 2),(l4 0 0),(r-2 3 5),(l7 1 2)

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^3
v1 = 1-12, v2 = 400, v3 = -235, v4 = 712
e pede para decidir se eles são linearmente independentes ou não. O conteúdo é independência linear em espaços vetoriais de dimensão finita (aqui dim R^3=3).

Passo 2

Em R^3 não podem existir mais de três vetores linearmente independentes. Como foram dados quatro vetores, eles são necessariamente linearmente dependentes. Mas para ficar claro, vamos achar uma combinação não-trivial que zera:

Passo 3

Procuramos escalares
Escrevendo coordenada a coordenada:
Da segunda equação vem (a=3c-1]. Substituindo na terceira:

e então

Por fim, na primeira equação

Passo 4

Da relação
tfrac111v1 + tfrac2111v2 + tfrac411v3 - 1,v4 = 0
multiplicamos tudo por 11 e obtemos a combinação não-trivial inteira
v1 +21,v2 +4,v3 -11,v4 = 0,
onde nem todos os coeficientes são zero.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes.

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