Determine se o conjunto dado é uma base para o espaço vetorial indicado.
c. Em M22,(ll3 & 1 0 & 0),(ll3 & 2 0 & 0),(rr-5 & 1 0 & 6),(rr0 & 1 0 & -7)

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto
A1=3 & 10 & 0, A2=3 & 20 & 0, A3=-5 & 10 & 6, A4=0 & 10 & -7
é uma base de M2times2. Como diml(M2times2r)=4 e temos 4 vetores, basta verificar se eles são linearmente independentes.

Passo 2

Suponha que exista uma combinação linear que dê a matriz zero:
c1A1 + c2A2 + c3A3 + c4A4 = 0 & 00 & 0
Escrevendo explicitamente, isso significa
c13 & 10 & 0 +c23 & 20 & 0 +c3-5 & 10 & 6 +c40 & 10 & -7 =0&00&0

Passo 3

Igualando cada entrada ao zero, obtemos o sistema
3c1 + 3c2 -5c3 + 0,c4 = 0, ;c1 + 2c2 + c3 + c4 = 0, 6c3 -7c4 = 0

Passo 4

Da terceira equação vem
6c3 -7c4 = 0 Longrightarrow c4 = 67,c3
Substituindo em c1 + 2c2 + c3 + c4=0 e em 3c1+3c2-5c3=0, encontramos soluções não-triviais como, por exemplo, escolhendo c3=7 leva a
c4=6, c2=-74/21cdot7=-74, c1=109/21cdot7=109
Logo existe solução com (c1,c2,c3,c4)neq(0,0,0,0).

Passo 5

Como existe combinação linear não-trivial que anula esses quatro vetores, eles são linearmente dependentes. Consequentemente, não formam uma base de M2times2.

Resposta

O conjunto não é uma base de M2times2.

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