Determine se o conjunto de vetores dado é linearmente dependente ou independente.
g. Em M22,(rr2 & -1 4 & 0),(rr0 & -3 1 & 5),(rr4 & 1 7 & -5)

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos se o conjunto
A1 = 2 & -1 [4pt]4 & 0, A2 = 0 & -3 [4pt]1 & 5, A3 = 4 & 1 [4pt]7 & -5
em M22 é linearmente dependente ou independente. O conteúdo é dependência linear em espaços vetoriais, e vamos usar a combinação linear nula, tratando cada matriz como vetor em R^4.]

Passo 2

Para facilitar, representamos cada matriz como vetor em R^4 (lendo linha a linha):
v1 = (2,,-1,,4,,0), v2 = (0,,-3,,1,,5), v3 = (4,,1,,7,,-5)
A ideia é achar escalares c1,c2,c3 tais que
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = (0,0,0,0)

Passo 3

Escrevendo cada coordenada dessa soma igual a zero, obtemos o sistema
2c1 ;+;0c2 ;+;4c3 = 0, -1c1 ;-;3c2 ;+;1c3 = 0, 4c1 ;+;1c2 ;+;7c3 = 0, 0c1 ;+;5c2 ;-;5c3 = 0

Passo 4

Resolvendo:
1. Da primeira equação: 2c1+4c3=0 c1=-2c3.
2. Da segunda: -c1-3c2+c3=0. Substituindo c1=-2c3 vem
-(-2c3)-3c2+c3=0Rightarrow 2c3-3c2+c3=0 Rightarrow c2=c3
3. As outras duas equações também levam a c2=c3, confirmando consistência.
Logo há soluções não-triviais, por exemplo c3=1implies c1=-2,;c2=1. Isso significa que
-2A1 + A2 + A3 = 0,
ou seja, A2 + A3 = 2A1.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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