Determine se o conjunto de vetores dado é linearmente dependente ou independente.
c. (r-3 4 2),(r7 -1 3),(l1 1 8)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
v1=-342,;v2=7-13,;v3=118.
Queremos verificar se eles são linearmente independentes. Como são três vetores em R^3, basta montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante: se for diferente de zero, eles são independentes; se for zero, são dependentes.

Passo 2

Formamos a matriz
A= -3 & 7 & 1 4 & -1 & 1 2 & 3 & 8 ,
cuja coluna 1 é v1, coluna 2 é v2 e coluna 3 é v3.

Passo 3

Calculamos det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) =-3det-1 & 13 & 8 -7det4 & 12 & 8 +1det4 & -12 & 3
Agora cada menor vale
det-1 & 13 & 8 =(-1)cdot8 - 1cdot3=-8-3=-11,
det4 & 12 & 8 =4cdot8 - 1cdot2=32-2=30,
det4 & -12 & 3 =4cdot3 -(-1)cdot2=12+2=14
Substituindo,
det(A) =-3cdot(-11)-7cdot30+1cdot14 =33-210+14 =-163

Passo 4

Como det(A)=-163neq0, a única combinação linear que dá o vetor zero é a trivial. Logo os vetores v1,v2,v3 são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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