Em P2,(x)B1=(l2 1 3), onde B1=1-x, 3 x, x^2-x-1. Escreva x em termos da base B2= 3-2 x, 1+x, x+x^2.

Passo 1

O enunciado diz que em P2 temos
x com coordenadas
(x)B1 = 213,
na base
B1 = ,1 - x,;3x,;x^2-x-1
Queremos encontrar as coordenadas de x na base
B2 = ,3 - 2x,;1 + x,;x + x^2
O conteúdo é mudança de base em P2. Vamos primeiro achar o polinômio x em forma padrão e depois expressá-lo em B2.

Passo 2

Escrevendo x como combinação em B1:
x = 2,(1 - x) + 1,(3x) + 3,(x^2-x-1)
Expandindo e coletando termos em potências de x:
x = 2 - 2x + 3x + 3x^2 - 3x - 3 = 3x^2 +(-2x);+;(-1)
Ou seja,
x = 3x^2 - 2x - 1

Passo 3

Procuramos escalares a,b,c tais que
a,(3 - 2x);+;b,(1 + x);+;c,(x + x^2) = 3x^2 - 2x - 1
Expandindo o lado esquerdo:
a,(3 - 2x)+b,(1 + x)+c,(x + x^2) = (3a + b) +(-2a + b + c),x +c,x^2
Comparando coeficientes em 1,x,x^2 obtemos o sistema
3a + b = -1, -2a + b + c = -2, c = 3

Passo 4

Da terceira equação vem c = 3. Substituindo em
;-2a + b + c = -2;
-2a + b + 3 = -2 ;Longrightarrow; -2a + b = -5
Além disso 3a + b = -1. Subtraindo essas duas linhas:
(3a + b) -(-2a + b) = -1 -(-5) ;Longrightarrow; 5a = 4 ;Longrightarrow; a = tfrac45
Então
b = -1 - 3a = -1 - 3cdottfrac45 = -1 - tfrac125 = -tfrac175

Resposta

As coordenadas de x em B2 são
(x)B2 = 45[6pt] -175[6pt] 3 ]

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