Determine se o conjunto dado é um espaço vetorial. Se não for, indique qual axioma não é satisfeito. Veja que para fazer estes exercícios precisa provar os 10 axiomas.
c. Em
com a suma definida por
e o produto por escalar usual das matrizes.
c. Em
Passo 1
O enunciado define em
a “soma”
e o produto por escalar usual
Para termos um espaço vetorial, precisamos verificar os 10 axiomas: que
seja um grupo abeliano (5 axiomas) e que a multiplicação escalar satisfaça os outros 5 (fechamento, associatividade, elemento-unidade, distributividades).
Passo 2
Verificamos primeiro que
é um grupo abeliano.
- Fechamento: claro, a soma está em
. - Comutatividade:
- Associatividade: para
, ,
e
- Elemento neutro
tal que obriga
- Inverso de
é tal que , o que dá
Logo,
é de fato um grupo abeliano.
Passo 3
Agora verificamos os axiomas que envolvem produto escalar:
– Fechamento em : claro,
.
– Associatividade escalar:
– Fechamento em
– Associatividade escalar:
e
– Identidade escalar:
Passo 4
Restam as duas propriedades distributivas. Verifiquemos
O lado esquerdo é
O lado direito, usando a soma definida, é
Essas expressões só concordariam se
, o que não vale em
. Portanto falha o axioma da distributividade da soma de escalares sobre o produto escalar.
Resposta
O conjunto não é um espaço vetorial, pois não satisfaz o axioma