Determine se o conjunto dado é um espaço vetorial. Se não for, indique qual axioma não é satisfeito. Veja que para fazer estes exercícios precisa provar os 10 axiomas.
c. Em R^2 com a suma definida por (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2+1, y1+y2+1) e o produto por escalar usual das matrizes.

Passo 1

O enunciado define em R^2 a “soma”
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2+1,;y1+y2+1)
e o produto por escalar usual
lambdacdot(x,y)=(lambda x,;lambda y)
Para termos um espaço vetorial, precisamos verificar os 10 axiomas: que (R^2,+) seja um grupo abeliano (5 axiomas) e que a multiplicação escalar satisfaça os outros 5 (fechamento, associatividade, elemento-unidade, distributividades).

Passo 2

Verificamos primeiro que (R^2,+) é um grupo abeliano.
  1. Fechamento: claro, a soma está em R^2.
  2. Comutatividade:
(x1+x2+1,y1+y2+1)=(x2+x1+1,y2+y1+1)
  1. Associatividade: para (xi,yi), i=1,2,3,
((x1,y1)+(x2,y2))+(x3,y3)=(x1+x2+x3+2,;y1+y2+y3+2)
e
(x1,y1)+((x2,y2)+(x3,y3))=(x1+x2+x3+2,;y1+y2+y3+2)
  1. Elemento neutro e=(e1,e2) tal que (x,y)+e=(x,y) obriga
(x+e1+1,y+e2+1)=(x,y)Longrightarrow e=(-1,-1)
  1. Inverso de (x,y) é (u1,u2) tal que (x,y)+(u1,u2)=(-1,-1), o que dá
u=(-x-2,,-y-2)
Logo, (R^2,+) é de fato um grupo abeliano.

Passo 3

Agora verificamos os axiomas que envolvem produto escalar:
– Fechamento em R^2: claro, (lambda x,lambda y)inR^2.
– Associatividade escalar:
(alphabeta)cdot(x,y) = ((alphabeta)x,(alphabeta)y)
e
alphacdotl(betacdot(x,y)r) = alphacdot(beta x,beta y) = ((alphabeta)x,(alphabeta)y)
– Identidade escalar:
1cdot(x,y)=(1cdot x,1cdot y)=(x,y)

Passo 4

Restam as duas propriedades distributivas. Verifiquemos
(a+b)cdot(x,y) stackrel?= acdot(x,y) + bcdot(x,y)
O lado esquerdo é
(a+b)cdot(x,y)=l((a+b)x,,(a+b)yr)
O lado direito, usando a soma definida, é
(a x,a y) + (b x,b y) = l(a x + b x + 1,;a y + b y +1r) =l((a+b)x+1,,(a+b)y+1r)
Essas expressões só concordariam se 1=0, o que não vale em R. Portanto falha o axioma da distributividade da soma de escalares sobre o produto escalar.

Resposta

O conjunto não é um espaço vetorial, pois não satisfaz o axioma
(a+b),v = a,v + b,v

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