Determine se o subconjunto dado H do espaço vetorial V é um subespaço de V.
a. V=R^2 ; H=(x, y) ; x=y

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V = R^2 e o subconjunto
H = (x,y)mid x = y
Para mostrar que H é subespaço de V, vamos verificar três condições:
  1. H não é vazio (contém o vetor zero).
  2. H é fechado sob adição.
  3. H é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero de R^2 é (0,0). Como 0 = 0, temos (0,0)in H. Logo, H não é vazio.

Passo 3

Sejam u=(x,x) e v=(y,y) vetores arbitrários de H. Então
u + v = (x,x) + (y,y) = (x+y,;x+y)
Como (x+y) = (x+y), o vetor u+v satisfaz a condição de H, ou seja, u+vin H. Portanto, H é fechado sob adição.

Passo 4

Seja alphainR e u=(x,x)in H. Então
alpha,u = alpha,(x,x) = (alpha x,;alpha x)
Como alpha x = alpha x, segue que alpha uin H. Logo, H é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

H é subespaço de R^2.

Exercícios relacionados