Determine se o subconjunto dado H do espaço vetorial V é um subespaço de V.
c. V=R ; H=Q, Q : números racionais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto H=Q de V=R é um subespaço vetorial. O conteúdo usado é o critério de subespaço: um subconjunto não-vazio deve ser fechado sob soma e sob multiplicação escalar (pelos escalares do corpo sobre o qual V está definido, aqui R).

Passo 2

Verificamos que H não é vazio e contém o vetor nulo de V. De fato, o elemento 0inQ, logo
0in H

Passo 3

Verificamos fechamento sob soma: dados p,qinQ, temos
p+qinQ,
pois a soma de dois números racionais é racional. Portanto H é fechado sob soma.

Passo 4

Verificamos fechamento sob multiplicação escalar: devemos testar alphacdot h para alphainR e hinQ. Se alpha for irracional e hneq0 racional, então
alphacdot h
é, em geral, um número irracional, logo não pertence a Q. Por exemplo, raiz2inR e 1inQ dão
raiz2cdot1=raiz2notinQ
Isso mostra que H não é fechado sob multiplicação escalar por escalares em R.

Resposta

H=Q não é subespaço de V=R, pois falha o fechamento sob multiplicação escalar.

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