Determine se o subconjunto dado
do espaço vetorial
é um subespaço de
.
c.
: números racionais.
c.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o subconjunto
de
é um subespaço vetorial. O conteúdo usado é o critério de subespaço: um subconjunto não-vazio deve ser fechado sob soma e sob multiplicação escalar (pelos escalares do corpo sobre o qual
está definido, aqui
).
Passo 2
Verificamos que
não é vazio e contém o vetor nulo de
. De fato, o elemento
, logo
Passo 3
Verificamos fechamento sob soma: dados
, temos
pois a soma de dois números racionais é racional. Portanto
é fechado sob soma.
Passo 4
Verificamos fechamento sob multiplicação escalar: devemos testar
para
e
. Se
for irracional e
racional, então
é, em geral, um número irracional, logo não pertence a
. Por exemplo,
e
dão
Isso mostra que
não é fechado sob multiplicação escalar por escalares em
.