Determine se o conjunto W dado é ou não um subespaço de R^3. Justifique a sua resposta. (Valor total: 1 ponto)
W=(x1, x2, x3) mid xi in R, x1+x2-3 x3=0;

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
W = (x1,x2,x3)in R^3mid x1+x2-3x3=0
e pede para verificar se W é um subespaço de R^3. Para isso, vamos usar o critério conhecido:
  1. O vetor zero pertence a W.
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a W. Substituindo na condição:
0 + 0 - 3cdot 0 = 0,
logo (0,0,0)in W.

Passo 3

Fechamento sob soma. Suponha
u=(u1,u2,u3)in W e v=(v1,v2,v3)in W
Então
u1+u2-3u3=0 e v1+v2-3v3=0
Para u+v temos
(u+v)1+(u+v)2-3(u+v)3 =(u1+v1)+(u2+v2)-3(u3+v3)
=(u1+u2-3u3)+(v1+v2-3v3) =0+0=0,
logo u+vin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja u=(u1,u2,u3)in W e alphainR. Como
u1+u2-3u3=0,
para alpha u temos
(alpha u)1+(alpha u)2-3(alpha u)3 =alpha u1+alpha u2-3alpha u3 =alpha,(u1+u2-3u3) =alphacdot0=0,
portanto alpha uin W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação escalar, concluímos que W é um subespaço de R^3.

Resposta

W é um subespaço de R^3.

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