Determine se o conjunto W dado é ou não um subespaço de R^3. Justifique a sua resposta. (Valor total: 1 ponto)
W=(x1, x2, x3) mid xi in R, x1 x2 x3=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = (x1,x2,x3)inR^3mid x1x2x3=0
é subespaço de R^3. Para isso precisamos conferir três propriedades:
  1. 0in W.
  2. Fechamento sob soma.
  3. Fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos a presença do vetor zero:
(0,0,0)in W
pois 0cdot0cdot0=0. Logo a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Testamos o fechamento sob soma. Escolhemos
u=(1,0,1), v=(0,1,1)
Ambos estão em W porque
1cdot0cdot1=0 e 0cdot1cdot1=0
Porém
u+v=(1,1,2),
e aí
1cdot1cdot2=2neq0,
ou seja (1,1,2)notin W.

Passo 4

Como u,vin W mas u+vnotin W, W não é fechado sob adição.

Resposta

W não é subespaço de R^3, pois falha na condição de fechamento sob soma.

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