Um fabricante de móveis faz cadeiras e mesas, cada uma das quais deve passar por um processo de montagem e um processo de acabamento. Os tempos necessários para esses processos são dados (em horas) pela matriz
A=
Processo de
montagem
Processo de
acabamento
\left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right]
Cadeira
Mesa
O fabricante tem uma fábrica em Água Clara e outra em Campo Grande. As taxas horárias para cada um dos processos são dados (em reais) pela matriz

Água Clara Campo Grande

B=\left[\begin{array}{cc} 9 & 10 \\\\ 10 & 12 \end{array}\right] \begin{aligned} & \text { Processo de montagem } \\\ & \text { Processo de acabamento } \end{aligned}
O que as entradas da matriz produto A B informam ao fabricante?

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes:
A é 2\times2, cujas linhas são os produtos (cadeira, mesa) e cujas colunas são os processos (montagem, acabamento). Cada entrada A_{ik} é o número de horas do processo k no produto i.
B é 2\times2, cujas linhas são também os processos (montagem, acabamento) e cujas colunas são as fábricas (Água Clara, Campo Grande). Cada entrada B_{kj} é a taxa horária (em reais) do processo k na fábrica j.
O objetivo é entender o significado das entradas da matriz produto AB.

Passo 2

Verificamos que as dimensões batem para multiplicar A\,(2\times2) por B\,(2\times2). O resultado AB será uma matriz 2\times2 cujas linhas correspondem aos produtos (cadeira, mesa) e colunas correspondem às fábricas (Água Clara, Campo Grande). A entrada genérica
(AB)_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{2}A_{ik}\,B_{kj}
faz a soma do tempo gasto em cada processo k pelo custo horário desse processo na fábrica j.

Passo 3

Vamos calcular explicitamente AB:
AB = \begin{pmatrix} 2\cdot9 + 2\cdot10 & 2\cdot10 + 2\cdot12 \\[0.3em] 3\cdot9 + 4\cdot10 & 3\cdot10 + 4\cdot12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 38 & 44 \\[0.2em] 67 & 78 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Cada entrada (AB)_{ij} é, portanto, o custo total (em reais) para produzir um exemplar do produto i (cadeira se i=1, mesa se i=2) na fábrica j (Água Clara se j=1, Campo Grande se j=2).

Resposta

As entradas da matriz AB informam o custo unitário de fabricação de cada produto em cada fábrica. Em particular,
AB = \begin{pmatrix} 38 & 44 \\\\ 67 & 78 \end{pmatrix},
onde, por exemplo, 38 é o custo de fabricar uma cadeira em Água Clara, e 78 é o custo de fabricar uma mesa em Campo Grande.

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