Determine se o conjunto dado de vetores geram o espaço vectorial dado.
a. Em R^2,binom12,binom34

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em :
e pergunta se eles geram . Em outras palavras, queremos saber se para todo vetor existem escalares tais que

Passo 2

Escrevendo esse problema como sistema linear, temos
Se a matriz dos coeficientes for invertível, então para todo há solução única , o que garante que gera .

Passo 3

Calculemos o determinante da matriz de coeficientes:
M = 1 & 32 & 4, det(M) = 1cdot4 - 3cdot2 = 4 - 6 = -2 neq 0
Como det(M)neq0, a matriz é invertível e o sistema é sempre solucionável.

Passo 4

Portanto, v1 e v2 são linearmente independentes em R^2 e geram todo o espaço.

Resposta

Sim. Os vetores binom12 e binom34 geram R^2, pois o determinante da matriz formada por eles é -2neq0.

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