Determine se o conjunto dado de vetores geram o espaço vectorial dado.
a.
a.
Passo 1
O enunciado nos dá dois vetores em
:
e pergunta se eles geram
. Em outras palavras, queremos saber se para todo vetor existem escalares
tais que
Passo 2
Escrevendo esse problema como sistema linear, temos
Se a matriz dos coeficientes for invertível, então para todo há solução única
, o que garante que
gera
.
Passo 3
Calculemos o determinante da matriz de coeficientes:
Como
, a matriz é invertível e o sistema é sempre solucionável.
Passo 4
Portanto,
e
são linearmente independentes em
e geram todo o espaço.
Resposta
Sim. Os vetores
e
geram
, pois o determinante da matriz formada por eles é
.