Determine se o conjunto dado de vetores geram o espaço vectorial dado.
e. Em P2, x^2+1, x^2-1, x+6

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os polinômios ,x^2+1, ,x^2-1 e ,x+6 geram o espaço vetorial P2 (polinômios de grau <=2). Sabemos que dim P2=3, então basta mostrar que esses três vetores são linearmente independentes (logo formam base e, portanto, geram P2).

Passo 2

Considere uma combinação linear nula:
c1(x^2+1) ;+; c2(x^2-1) ;+; c3(x+6) ;=; 0,
onde c1,c2,c3 são escalares a determinar.

Passo 3

Expandindo a soma obtemos
(c1+c2),x^2 ;+; c3,x ;+; l(c1-c2+6,c3r) ;=; 0
Igualando coeficientes em relação a x^2, x e termo constante, vem
para x^2: c1+c2=0,
para x: c3=0,
para constante: c1-c2+6c3=0.
Da segunda equação c3=0. Das duas primeiras c1+c2=0 e da terceira c1-c2=0 segue c1=c2=0. Assim a única solução é trivial.

Passo 4

Como temos três vetores em um espaço de dimensão 3 e eles são linearmente independentes, eles formam uma base de P2. Logo, o span desses vetores é todo P2.

Resposta

Sim, o conjunto ,x^2+1,;x^2-1,;x+6 gera P2.

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