Determine se o conjunto dado de vetores geram o espaço vectorial dado.
e.
e.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os polinômios
,
e
geram o espaço vetorial
(polinômios de grau
). Sabemos que
, então basta mostrar que esses três vetores são linearmente independentes (logo formam base e, portanto, geram
).
Passo 2
Considere uma combinação linear nula:
onde
são escalares a determinar.
Passo 3
Expandindo a soma obtemos
Igualando coeficientes em relação a
,
e termo constante, vem
para :
,
para :
,
para constante: .
Da segunda equação . Das duas primeiras
e da terceira
segue
. Assim a única solução é trivial.
para
para
para constante:
Da segunda equação
Passo 4
Como temos três vetores em um espaço de dimensão
e eles são linearmente independentes, eles formam uma base de
. Logo, o span desses vetores é todo
.
Resposta
Sim, o conjunto
gera
.