Determine se o subconjunto dado H do espaço vetorial V é um subespaço de V.
i. V=Mm n ; H=T: T é triangular inferior

Passo 1

O enunciado apresenta o espaço vetorial V = Mm n de todas as matrizes de tamanho mtimes n sobre um corpo (por exemplo R) e o subconjunto
H = ,Tin Mm n mid T é triangular inferior, é
ou seja, Tij=0 sempre que j>i. Vamos verificar se H é subespaço de V, usando os critérios clássicos: (i) conter o vetor zero, (ii) fechar-se sob soma, (iii) fechar-se sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz zero 0in Mm n (todos os seus elementos são zero) satisfaz 0ij=0 para todo i,j, logo é triangular inferior. Portanto,
0in H

Passo 3

Seja A e B em H. Por definição, para todo par de índices i,j com j>i temos
Aij=0 e Bij=0
Ao somarmos, o elemento (i,j) de A+B é
(A+B)ij = Aij + Bij = 0 + 0 = 0
Logo A+B também satisfaz a condição de triangularidade inferior, ou seja, A+Bin H.

Passo 4

Seja lambda um escalar qualquer e Ain H. Para todo i,j com j>i temos Aij=0. Então
(lambda A)ij = lambdacdot Aij = lambdacdot 0 = 0,
o que mostra que lambda A continua sendo triangular inferior. Assim, lambda Ain H.

Passo 5

Como H contém o vetor zero, é fechado sob soma e também sob multiplicação escalar, concluímos que H é um subespaço vetorial de V.

Resposta

H é um subespaço de Mm n.

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