Determine se o subconjunto dado
do espaço vetorial
é um subespaço de
.
i.
é triangular inferior
i.
Passo 1
O enunciado apresenta o espaço vetorial
de todas as matrizes de tamanho
sobre um corpo (por exemplo
) e o subconjunto
ou seja,
sempre que
. Vamos verificar se
é subespaço de
, usando os critérios clássicos: (i) conter o vetor zero, (ii) fechar-se sob soma, (iii) fechar-se sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos que a matriz zero
(todos os seus elementos são zero) satisfaz
para todo
, logo é triangular inferior. Portanto,
Passo 3
Seja
e
em
. Por definição, para todo par de índices
com
temos
Ao somarmos, o elemento
de
é
Logo
também satisfaz a condição de triangularidade inferior, ou seja,
.
Passo 4
Seja
um escalar qualquer e
. Para todo
com
temos
. Então
o que mostra que
continua sendo triangular inferior. Assim,
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e também sob multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.