Determine se o conjunto dado de vetores geram o espaço vectorial dado.
c. Em R^2,binom-65,binom79,binom7-12,binom-106

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores
v1 = -65,; v2 = 79,; v3 = 7-12,; v4 = -106
gera todo o espaço vetorial R^2. O conteúdo aqui é span (geração) e, em R^2, basta encontrar duas combinações linearmente independentes para garantir que o span seja R^2.

Passo 2

Lembrando que um conjunto gera R^2 se tem rank igual a 2, ou seja, se existem dois vetores não múltiplos entre si. Vamos então testar se, por exemplo, v1 e v2 são independentes.

Passo 3

Para checar a independência de
Em componentes:
Multiplicando a primeira por e somando, obtemos
Como a única solução é , e são independentes.

Passo 4

Tendo dois vetores independentes em R^2, o span deles já é todo R^2. Os outros v3 e v4 podem ser combinações dos dois primeiros, mas isso não diminui o rank. Logo o conjunto v1,v2,v3,v4 gera R^2.

Resposta

Sim, o conjunto gera R^2.

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