Determine se o conjunto dado de vetores geram o espaço vectorial dado.
c.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores
gera todo o espaço vetorial . O conteúdo aqui é span (geração) e, em , basta encontrar duas combinações linearmente independentes para garantir que o span seja .
Passo 2
Lembrando que um conjunto gera se tem rank igual a , ou seja, se existem dois vetores não múltiplos entre si. Vamos então testar se, por exemplo, e são independentes.
Passo 3
Para checar a independência de
Em componentes:
Multiplicando a primeira por e somando, obtemos
Como a única solução é , e são independentes.
Passo 4
Tendo dois vetores independentes em R^2, o span deles já é todo R^2. Os outros v3 e v4 podem ser combinações dos dois primeiros, mas isso não diminui o rank. Logo o conjunto v1,v2,v3,v4 gera R^2.