Determine se o conjunto dado de vetores geram o espaço vectorial dado.
b. Em R^2,binom01,binom34,binom-1-2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores
v1 = 01, v2 = 34, v3 = -1-2
em R^2 gera todo o espaço R^2. Para isso vamos usar os conceitos de geração (span) e independência linear: em R^2 um conjunto gera o espaço se e somente se contém dois vetores linearmente independentes, pois dim(R^2)=2.

Passo 2

Escolhemos dois vetores quaisquer do conjunto, por exemplo v1 e v2, e verificamos se são linearmente independentes. Montamos a matriz cujas colunas são v1 e v2:
A = 0 & 3[6pt]1 & 4
O determinante dessa matriz é
det(A) = 0 cdot 4 ; - ; 1 cdot 3 = -3 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, os vetores v1 e v2 são linearmente independentes.]

Passo 3

Dois vetores linearmente independentes em formam uma base de . Logo,
Adicionar o terceiro vetor não diminui o espaço gerado, portanto

Resposta

Sim, os vetores binom01, binom34 e binom-1-2 geram R^2.

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