Determine se o subconjunto dado H do espaço vetorial V é um subespaço de V.
b. V=R^2, H=(x, y) ; y=2 x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se Hsubset V é subespaço, onde
V=R^2
e
H=(x,y)inR^2 mid y=2x
Para isso, precisamos checar três condições:
  1. 0in H.
  2. H é fechado sob soma de vetores.
  3. H é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar se o vetor zero 0=(0,0) está em H.
Como em 0 temos y=0 e x=0, vale y=2x pois
0 = 2cdot 0
Logo 0in H.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma.
Sejam (x1,y1) e (x2,y2) em H. Então y1=2x1 e y2=2x2. A soma é
(x1,y1)+(x2,y2) = (x1+x2,;y1+y2) = (x1+x2,;2x1+2x2) = (x1+x2,;2(x1+x2))
Como o segundo componente é o dobro do primeiro, o vetor resultado pertence a H.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja alphainR e (x,y)in H, com y=2x. Então
alpha,(x,y) = (alpha x,;alpha y) = (alpha x,;alphacdot 2x) = (alpha x,;2(alpha x)),
que também satisfaz a relação y=2x. Logo alpha(x,y)in H.

Passo 5

Como H contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que H é subespaço de R^2.

Resposta

Sim, H é um subespaço de V=R^2.

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