Determine se o conjunto dado de vetores geram o espaço vectorial dado.
g. Em M22,(ll2 & 1 0 & 0),(cc0 & 0 2 & 1),(cc3 & -1 0 & 0),(ll0 & 0 3 & 1)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto
gera o espaço vetorial . O conteúdo é “geradores (span)” e iremos verificar se qualquer matriz genérica
pode ser escrita como combinação linear de .

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica
alpha A + beta B + gamma C + de<a D = alpha 2 & 1 0 & 0 + beta 0 & 0 2 & 1 + gamma 3 & -1 0 & 0 + de<a 0 & 0 3 & 1
Agrupando as entradas, isso dá
2alpha + 3gamma & alpha - gamma [6pt] 2beta + 3de<a & beta + de<a
e queremos igualar a x & y z & w.]

Passo 3

Comparando a primeira linha, obtemos o sistema em
Da segunda equação (\alpha = y+\gamma]. Substituindo na primeira:
Sempre existe solução para quaisquer .

Passo 4

Comparando a segunda linha, obtemos o sistema em
Da segunda equação (\beta = w-\delta]. Substituindo na primeira:
Também existe solução para quaisquer .

Passo 5

Como para toda matriz encontramos que a reproduzem, o conjunto gera .

Resposta

O conjunto gera todo M2times2.

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