Determine se o conjunto dado de vetores geram o espaço vectorial dado.
g.
g.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o conjunto
gera o espaço vetorial
. O conteúdo é “geradores (span)” e iremos verificar se qualquer matriz genérica
pode ser escrita como combinação linear de .
pode ser escrita como combinação linear de
Passo 2
Escrevemos a combinação linear genérica
Agrupando as entradas, isso dá
e queremos igualar a
x & y z & w .]
Passo 3
Comparando a primeira linha, obtemos o sistema em
Da segunda equação (\alpha = y+\gamma]. Substituindo na primeira:
Sempre existe solução para quaisquer
.
Passo 4
Comparando a segunda linha, obtemos o sistema em
Da segunda equação (\beta = w-\delta]. Substituindo na primeira:
Também existe solução para quaisquer
.
Passo 5
Como para toda matriz encontramos
que a reproduzem, o conjunto
gera
.
Resposta
O conjunto gera todo
M2times2 .