Determine se o subconjunto dado
do espaço vetorial
é um subespaço de
.
h.
h.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
isto é, o conjunto de todas as funções reais contínuas em
, e o subconjunto
Queremos verificar se
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar a definição de subespaço:
-
não é vazio (contém a função zero); -
é fechado sob soma de funções; -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que a função zero, definida por
pertence a
, pois
Logo,
não é vazio.
Passo 3
Fechamento sob soma: sejam
. Então
Para a função soma
temos
Como
é soma de contínuas,
é contínua em
e satisfaz as condições em 0 e 1, logo
.
Passo 4
Fechamento sob escalar: seja
e
um escalar real. Considere
. Então
Como
é contínua,
também é contínua em
e pertence a
.