Determine se o subconjunto dado H do espaço vetorial V é um subespaço de V.
h. V=C[0,1] ; H=f in C[0,1]: f(0)=f(1)=0

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial
V = C[0,1],
isto é, o conjunto de todas as funções reais contínuas em [0,1], e o subconjunto
H = ,fin C[0,1]mid f(0)=0 e f(1)=0
Queremos verificar se H é um subespaço de V. Para isso, vamos usar a definição de subespaço:
  1. H não é vazio (contém a função zero);
  2. H é fechado sob soma de funções;
  3. H é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a função zero, definida por
0(x)=0forall xin[0,1],
pertence a H, pois
0(0)=0 e 0(1)=0
Logo, H não é vazio.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam f,gin H. Então
f(0)=0,;f(1)=0, g(0)=0,;g(1)=0
Para a função soma h=f+g temos
h(0)=f(0)+g(0)=0+0=0, h(1)=f(1)+g(1)=0+0=0
Como h é soma de contínuas, h é contínua em [0,1] e satisfaz as condições em 0 e 1, logo hin H.

Passo 4

Fechamento sob escalar: seja fin H e alpha um escalar real. Considere g(x)=alpha,f(x). Então
g(0)=alpha,f(0)=alphacdot0=0, g(1)=alpha,f(1)=alphacdot0=0
Como f é contínua, g também é contínua em [0,1] e pertence a H.

Resposta

H é um subespaço de V.

Exercícios relacionados