Determine o conjunto S das desigualdades abaixo, onde S e o conjunto solução, para x in R.
3 x-21-x <=-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
3x-21-x <= -3,
buscando o conjunto SsubsetR de todos os x que satisfazem essa desigualdade. Vamos usar manipulação algébrica e análise de sinal de denominador, lembrando sempre de cuidar da condição de existência (denominador não nulo).

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio da expressão. Como temos denominador 1-x, não podemos ter
1 - x = 0 Longrightarrow x = 1
Logo, xneq 1.

Passo 3

Passamos tudo para o lado esquerdo, reduzindo a zero:
3x-21-x + 3 <= 0
Em seguida, escrevemos 3 com o mesmo denominador:
3x-21-x + 3(1-x)1-x <= 0

Passo 4

Somando as frações:
3x - 2 + 3(1-x)1-x <= 0 Longrightarrow 3x - 2 + 3 - 3x1-x <= 0 Longrightarrow 11-x <= 0

Passo 5

Perceba que o numerador é 1>0. Portanto
11-x <= 0
não equivale a exigir que o denominador seja negativo (já que nunca podemos ter igualdade a zero):
1 - x < 0 Longrightarrow x > 1

Passo 6

Como x=1 está excluído do domínio e não há ponto de igualdade (a fração nunca zera), concluímos
S = ,xinRmid x>1 = (1,infty)

Resposta

S = (1,infty).

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