Determine o conjunto S das desigualdades abaixo, onde S e o conjunto solução, para x in R.
4 x-52 x-1 >= 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade racional
4x-52x-1 >= 2,
para xinR. O conteúdo é resolução de desigualdades envolvendo frações, que exige: (1) identificar o domínio, (2) juntar tudo num único quociente, (3) estudar o sinal do numerador e do denominador.

Passo 2

Primeiro, impomos o domínio, garantindo que o denominador não seja zero:
2x-1 neq 0 Longrightarrow x neq tfrac12

Passo 3

Subtraímos 2 dos dois lados e escrevemos numa única fração:
4x-52x-1 - 2 >= 0 Longrightarrow 4x-5 - 2(2x-1)2x-1 >= 0 Longrightarrow -32x-1 >= 0

Passo 4

O numerador é constante e negativo ( -3<0). Para que tfrac-32x-1>=0, o denominador deve ser negativo:
2x-1 < 0 Longrightarrow x < tfrac12
Como já excluímos x=tfrac12 no domínio, a solução é x<tfrac12.

Resposta

O conjunto solução é
S = ,xinRmid x<tfrac12 ou S = l(-infty,tfrac12r)

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