Determine o conjunto S das desigualdades abaixo, onde S e o conjunto solução, para x in R.
(4-2 x)(5+2 x)<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(4-2x)(5+2x)<0
para xinR. Como é um produto de dois fatores, vamos usar análise de sinais: primeiro encontramos as raízes (zeros) de cada fator e depois determinamos em quais intervalos o produto é negativo.

Passo 2

Determinamos os zeros de cada fator:
Para 4-2x=0 temos
4-2x=0Longrightarrow x=2
Para 5+2x=0 temos
5+2x=0Longrightarrow x=-tfrac52

Passo 3

Ordenando as raízes em ordem crescente, obtemos
x=-tfrac52e x=2
Agora analisamos o sinal do produto em cada intervalo:
– Para x<-tfrac52, ao testar x=-3 temos (4-2cdot(-3))>0 e (5+2cdot(-3))<0, logo o produto é negativo.
– Para -tfrac52<x<2, ao testar x=0 obtemos (4)(5)>0, então o produto é positivo.
– Para x>2, ao testar x=3 obtemos (4-6)<0 e (5+6)>0, então o produto é negativo.

Passo 4

Concluímos que a inequação (4-2x)(5+2x)<0 é satisfeita quando o produto é negativo, ou seja, nos intervalos
(-infty,,-tfrac52)e(2,infty)

Resposta

S = (-infty,-tfrac52)cup(2,infty)

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