Resolva as inequações:
x <= x+3x-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x <= x+3x-1
O conteúdo aqui é estudo de inequações racionais: vamos transformar tudo em uma única fração, fatorar numerador e denominador, identificar zeros e pontos de descontinuidade, e montar o estudo de sinal.

Passo 2

Colocamos tudo no lado esquerdo e escrevemos numa só fração:
x - x+3x-1 <= 0
Para unir essa subtração:
x = x(x-1)x-1,
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x - x+3x-1 = x(x-1)-(x+3)x-1 = x^2 - x - x - 3x-1 = x^2 -2x -3x-1
A inequação vira
x^2 -2x -3x-1 <= 0

Passo 3

Agora fatoramos o numerador:
x^2 -2x -3 = (x-3)(x+1)
Assim a expressão fica
(x-3)(x+1)x-1 <= 0

Passo 4

Identificamos os pontos críticos:
zeros do numerador: x=3,;x=-1, zero do denominador: x=1 (proibido)
Esses valores partem a reta real nos intervalos
(-infty,-1),;(-1,1),;(1,3),;(3,infty)

Passo 5

Estudamos o sinal de cada fator e da expressão em cada intervalo:
Para x<-1:
x-3<0,;x+1<0,;x-1<0 ;Longrightarrow; (+)(-)<0 checkmark
Para -1<x<1:
x-3<0,;x+1>0,;x-1<0 ;Longrightarrow; (-)(-)>0 não va<= ã
Para 1<x<3:
x-3<0,;x+1>0,;x-1>0 ;Longrightarrow; (-)(+)<0 checkmark
Para x>3:
x-3>0,;x+1>0,;x-1>0 ;Longrightarrow; (+)(+)>0 não va<= ã
Como queremos “ <=0”, incluímos os zeros do numerador x=-1 e x=3, e sempre excluímos x=1.

Resposta

x in (-infty,-1];cup;(1,3]

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