Determine o conjunto
das desigualdades abaixo, onde
e o conjunto solução, para
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
para
.
O conteúdo aqui é análise de sinais de fatores com potências inteiras. Vamos identificar as raízes dos fatores, suas multiplicidades e ver como o sinal do produto se comporta em cada intervalo.
O conteúdo aqui é análise de sinais de fatores com potências inteiras. Vamos identificar as raízes dos fatores, suas multiplicidades e ver como o sinal do produto se comporta em cada intervalo.
Passo 2
Encontremos as raízes de cada fator:
– quando
, com multiplicidade 4 (par).
– quando
, com multiplicidade 3 (ímpar).
–
–
Logo os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Como
para todo
(é potência par), esse fator só zera em
mas não muda de sinal ali. Já
tem sinal igual ao de
e muda de sinal em
.
Passo 4
Vamos testar o sinal do produto em cada região:
Para
:
e
, produto negativo.
Para
:
e
, produto negativo.
Em
:
produto
, satisfaz a desigualdade.
Em
:
produto
, satisfaz a desigualdade.
Para
:
e
, produto positivo.
Passo 5
Concluímos que a desigualdade
é satisfeita somente quando o produto for zero ou positivo, isto é, em