Determine o conjunto S das desigualdades abaixo, onde S e o conjunto solução, para x in R.
(5 x+4)^4(7 x-2)^3 >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
(5x+4)^4,(7x-2)^3>= 0
para xinR.
O conteúdo aqui é análise de sinais de fatores com potências inteiras. Vamos identificar as raízes dos fatores, suas multiplicidades e ver como o sinal do produto se comporta em cada intervalo.

Passo 2

Encontremos as raízes de cada fator:
5x+4=0 quando x=-tfrac45, com multiplicidade 4 (par).
7x-2=0 quando x=tfrac27, com multiplicidade 3 (ímpar).
Logo os pontos críticos são x=-tfrac45 e x=tfrac27.

Passo 3

Como (5x+4)^4>=0 para todo x (é potência par), esse fator só zera em x=-tfrac45 mas não muda de sinal ali. Já (7x-2)^3 tem sinal igual ao de 7x-2 e muda de sinal em x=tfrac27.

Passo 4

Vamos testar o sinal do produto em cada região:
Para x<-tfrac45:
(5x+4)^4>0 e 7x-2<0 ,Rightarrow,(7x-2)^3<0, produto negativo.
Para -tfrac45<x<tfrac27:
(5x+4)^4>0 e 7x-2<0 ,Rightarrow,(7x-2)^3<0, produto negativo.
Em x=-tfrac45:
(5x+4)^4=0 Rightarrow produto =0, satisfaz a desigualdade.
Em x=tfrac27:
(7x-2)^3=0 Rightarrow produto =0, satisfaz a desigualdade.
Para x>tfrac27:
(5x+4)^4>0 e 7x-2>0 Rightarrow,(7x-2)^3>0, produto positivo.

Passo 5

Concluímos que a desigualdade (5x+4)^4(7x-2)^3>=0 é satisfeita somente quando o produto for zero ou positivo, isto é, em
x=-tfrac45 ou x>=tfrac27

Resposta

S=-tfrac45,cup,[tfrac27,+infty)

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