Determine o conjunto S das desigualdades abaixo, onde S e o conjunto solução, para x in R.
2 x+1x+2>0

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre o conjunto SsubsetR de todas as soluções da inequação racional
2x+1x+2>0
O conteúdo é inequação de sinal de função racional do 1º grau; para resolver, vamos achar os pontos em que o numerador e o denominador se anulam, dividir a reta nesses pontos e testar o sinal em cada trecho.

Passo 2

Determinamos os pontos críticos resolvendo
2x+1=0e x+2=0,
isto é,
2x+1=0implies x=-tfrac12,
x+2=0implies x=-2
Em x=-2 a expressão não está definida; em x=-tfrac12 o numerador é zero e a fração vale zero.

Passo 3

Agora estudamos o sinal de 2x+1x+2 em cada intervalo determinado por -2 e -tfrac12:
Para x< -2 temos 2x+1<0 e x+2<0, logo 2x+1x+2>0
Para -2< x< -tfrac12 temos 2x+1<0 e x+2>0, logo 2x+1x+2<0
Para x> -tfrac12 temos 2x+1>0 e x+2>0, logo 2x+1x+2>0

Passo 4

Como queremos estritamente 2x+1x+2>0, incluímos os intervalos onde o quociente é positivo e excluímos os pontos onde a expressão é zero ou indefinida.

Resposta

S = (-infty,-2)cupl(-tfrac12,inftyr).

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