Determine o conjunto S das desigualdades abaixo, onde S e o conjunto solução, para x in R.
-3-2 x3 x+1 <= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade racional
-3-2x3x+1 <= 0
para xinR. Vamos usar a técnica de análise de sinais de numerador e denominador, identificando zeros e pontos de descontinuidade, e depois determinar onde a fração é negativa ou nula.

Passo 2

Encontramos os pontos críticos da expressão:
numerador: -3-2x=0 implies x=-tfrac32,
denominador: 3x+1=0 implies x=-tfrac13
O domínio exige xneq -tfrac13. Esses valores particionam a reta em três intervalos.

Passo 3

Analisamos o sinal de numerador e denominador em cada intervalo:
1. Para x<-tfrac32:
numerador -3-2x=-(2x+3)>0, pois 2x+3<0;
denominador 3x+1<0.
Logo -3-2x3x+1<0.
2. Para -tfrac32<x<-tfrac13:
numerador <0, denominador <0.
Logo -3-2x3x+1>0.
3. Para x>-tfrac13:
numerador <0, denominador >0.
Logo -3-2x3x+1<0.
Em x=-tfrac32 a fração vale zero (numerador nulo, denominador neq 0); em x=-tfrac13 a expressão é indefinida.

Passo 4

Como queremos tfrac-3-2x3x+1<=0, incluímos as regiões em que a fração é negativa ou zero:
(-infty,,-tfrac32]e(-tfrac13,infty),
excluindo x=-tfrac13 por ser ponto de descontinuidade.

Resposta

S = (-infty,,-tfrac32];cup;(-tfrac13,infty)

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