Determine o conjunto S das desigualdades abaixo, onde S e o conjunto solução, para x in R.
5 x-33 x-4>-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o conjunto
S=lxinRmid 5x-33x-4>-1r
Conteúdo: desigualdade envolvendo fração racional. Para resolver vamos passar tudo para um único quociente, achar zeros de numerador e denominador, montar um quadro de sinais e determinar onde a expressão fica positiva.

Passo 2

Passamos -1 para o lado esquerdo e colocamos em um só quociente:
5x-33x-4>-1 Longrightarrow 5x-33x-4+1>0 Longrightarrow (5x-3)+(3x-4)3x-4>0 Longrightarrow 8x-73x-4>0

Passo 3

Identificamos os pontos críticos onde o numerador ou o denominador se anulam:
8x-7=0;Longrightarrow;x=tfrac78, 3x-4=0;Longrightarrow;x=tfrac43
Note que x=tfrac43 está fora do domínio da expressão.

Passo 4

Analisamos o sinal de tfrac8x-73x-4 em cada intervalo determinado por tfrac78 e tfrac43:
para x<tfrac78: numerador 8x-7<0, denominador 3x-4<0 ;Rightarrow tfrac8x-73x-4>0.
para tfrac78<x<tfrac43: numerador >0, denominador <0 ;Rightarrow tfrac8x-73x-4<0.
para x>tfrac43: numerador >0, denominador >0 ;Rightarrow tfrac8x-73x-4>0.

Passo 5

Como queremos tfrac8x-73x-4>0, a solução é
xinl(-infty,tfrac78r);cup;l(tfrac43,inftyr)
Nem x=tfrac78 (torna a fração igual a zero) nem x=tfrac43 (não está no domínio) entram na solução.

Resposta

S=l(-infty,tfrac78r);cup;l(tfrac43,inftyr)

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