Determine o conjunto S das desigualdades abaixo, onde S e o conjunto solução, para x in R.
x-1x+1 >= 3

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos resolver a inequação racional
x-1x+1 >= 3
O conteúdo envolvido é inequação de função racional. Vamos usar análise de domínio, manipulação algébrica (colocar tudo num único quociente) e o método de estudo de sinal, lembrando de inverter o sinal da desigualdade ao multiplicar ou dividir por número negativo.

Passo 2

Determinar o domínio da expressão x-1x+1. O denominador não pode ser zero, logo
x + 1 neq 0 Longrightarrow x neq -1

Passo 3

Levar tudo para um único lado e obter um único quociente:
x-1x+1 - 3 >= 0 Longrightarrow x-1 - 3(x+1)x+1 >= 0
No numerador:
x - 1 - 3x - 3 = -2x - 4 = -2(x+2)
Então a inequação vira
-2(x+2)x+1 >= 0

Passo 4

Isolar o sinal do quociente dividindo por -2. Como -2<0, a desigualdade inverte:
x+2x+1 <= 0

Passo 5

Estudar o sinal de x+2x+1. Os zeros do numerador e do denominador são:
x+2=0 ,Rightarrow, x=-2, x+1=0 ,Rightarrow, x=-1
(sendo x=-1 proibido). Montando a linha de sinais:
intervalo | (-infty,-2) | -2 | (-2,-1) | -1 | (-1,infty)
numerador x+2 | – | 0 | + | + | +
denominador x+1| – | – | – | 0 | +
quociente | + | 0 | – | – | +
Queremos x+2x+1<=0, ou seja, quociente negativo ou zero. Isso ocorre em [-2,-1).

Passo 6

Concluímos que a solução da inequação original, respeitando xneq-1, é
S = [-2,,-1)

Resposta

S = [-2,-1)

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