Determine o conjunto S das desigualdades abaixo, onde S e o conjunto solução, para x in R.
6 xx+3<5

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto SsubsetR de soluções da inequação racional
6xx+3 < 5
O conteúdo aqui é inequação envolvendo fração algébrica. Para resolver, precisaremos reunir todos os termos num único lado, obter uma única fração e estudar o sinal dessa fração.

Passo 2

Subtraímos 5 de ambos os lados para ter 0 no segundo membro:
6xx+3 - 5 < 0
Em seguida, colocamos em denominador comum x+3:
6x - 5(x+3)x+3 < 0
No numerador faz-se a distribuição:
6x - 5(x+3) = 6x - 5x -15 = x - 15
Logo a inequação vira
x-15x+3 < 0

Passo 3

O domínio da expressão é x neq -3. Os pontos que anulam numerador e denominador são
x=15 e x=-3
Esses valores particionam a reta em três intervalos: (-infty,-3), (-3,15) e (15,infty).

Passo 4

Para cada intervalo, analisamos o sinal de x-15x+3:
  1. Se x< -3, então x-15<0 e x+3<0, logo x-15x+3>0. Não satisfaz.
  2. Se -3<x<15, então x-15<0 e x+3>0, logo x-15x+3<0. Satisfaz.
  3. Se x>15, então x-15>0 e x+3>0, logo x-15x+3>0. Não satisfaz.
Além disso, x=-3 está fora do domínio e em x=15 a fração é zero, mas queremos estritamente <0. Portanto a solução é
-3 < x < 15

Resposta

S = ,xinRmid -3 < x < 15.

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