Determine o conjunto domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto domínio da função de duas variáveis
Informações dadas:
- A função é dada em termos do logaritmo natural
. - As variáveis são
e , presumivelmente reais. - Precisa-se indicar para quais pares
a expressão está definida.
Passo 2
Lembrete importante sobre a função logaritmo natural:
está definida apenas para argumentos
estritamente positivos. Ou seja, a condição necessária e suficiente para que
exista (como número real) é
Explicando de leve:
não existe (tende a
) e
para
não é um número real; por isso excluímos
.
Passo 3
Aplicando essa condição ao nosso caso, o argumento do logaritmo é
. Logo devemos ter
Agora resolvemos essa desigualdade para obter uma descrição mais prática do domínio. Faço as operações passo a passo e explico cada uma:
Subtraindo
de ambos os lados:
Ao multiplicar por
devemos inverter o sentido da desigualdade (regra básica de desigualdades):
Dividindo ambos os lados por
(número positivo, então o sentido da desigualdade se mantém):
Passo 4
Interpretação e verificação prática:
- A desigualdade
descreve um semiplano aberto no plano : todos os pontos estritamente abaixo da reta . A reta em si (onde ) não pertence ao domínio porque aí e não existe. - Exemplos rápidos para checar:
- Se
então , logo está no domínio. - Se
então , logo não está no domínio.
- Se
Passo 5
Dica para a prova: ao ver
sempre escreva imediatamente a condição
e resolva a desigualdade. Isso evita esquecer o sinal estrito ou incluir a fronteira (onde o log não está definido).