Determine o conjunto domínio das seguintes funções:
z=\ln (5 x-2 y+4)\\

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto domínio da função de duas variáveis
z=\ln(5x-2y+4).
Informações dadas:
  • A função é dada em termos do logaritmo natural \ln.
  • As variáveis são x e y, presumivelmente reais.
  • Precisa-se indicar para quais pares (x,y)\in\mathbb{R}^2 a expressão está definida.

Passo 2

Lembrete importante sobre a função logaritmo natural: \ln(t) está definida apenas para argumentos t estritamente positivos. Ou seja, a condição necessária e suficiente para que \ln(t) exista (como número real) é
t>0.
Explicando de leve: \ln(0) não existe (tende a -\infty) e \ln(t) para t<0 não é um número real; por isso excluímos t\le 0.

Passo 3

Aplicando essa condição ao nosso caso, o argumento do logaritmo é 5x-2y+4. Logo devemos ter
5x-2y+4>0.
Agora resolvemos essa desigualdade para obter uma descrição mais prática do domínio. Faço as operações passo a passo e explico cada uma:
5x-2y+4>0
Subtraindo 5x+4 de ambos os lados:
-2y>-5x-4.
Ao multiplicar por -1 devemos inverter o sentido da desigualdade (regra básica de desigualdades):
2y<5x+4.
Dividindo ambos os lados por 2 (número positivo, então o sentido da desigualdade se mantém):
y<\frac{5x+4}{2}.

Passo 4

Interpretação e verificação prática:
  • A desigualdade \;y<\dfrac{5x+4}{2}\; descreve um semiplano aberto no plano (x,y): todos os pontos estritamente abaixo da reta \;y=\dfrac{5x+4}{2}\;. A reta em si (onde y=\dfrac{5x+4}{2}) não pertence ao domínio porque aí 5x-2y+4=0 e \ln(0) não existe.
  • Exemplos rápidos para checar:
    • Se x=0,\\ y=0 então 5x-2y+4=4>0, logo (0,0) está no domínio.
    • Se x=0,\\ y=3 então 5x-2y+4= -2<0, logo (0,3) não está no domínio.

Passo 5

Dica para a prova: ao ver \ln(\text{expressão})ã sempre escreva imediatamente a condição \text{expressão}>0ã e resolva a desigualdade. Isso evita esquecer o sinal estrito ou incluir a fronteira (onde o log não está definido).

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y<\dfrac{5x+4}{2}\}

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