Determine se o conjunto de funções é linearmente dependente ou linearmente independente:
f_{1}(x)=\cos (\ln x), f_{2}(x)=\operatorname{sen}(\ln x),(0, \infty)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções
f_{1}(x)=\cos(\ln x),\quad f_{2}(x)=\sin(\ln x),
definidas em (0,\infty), formam um conjunto linearmente dependente ou independente. O conteúdo é independência linear de funções, e vamos usar a definição: se existir combinação não trivial
a\,f_{1}(x)+b\,f_{2}(x)\equiv0
então são dependentes; caso contrário, são independentes.

Passo 2

Partimos da combinação linear igual a zero para todo x>0:
a\cos(\ln x)+b\sin(\ln x)=0,\quad\forall x>0.

Passo 3

Fazendo a mudança de variável t=\ln x, que varia em \mathbb{R}, a identidade fica
a\cos t + b\sin t = 0,\quad\forall t\in\mathbb{R}.
Para determinar a e b, avaliamos em pontos convenientes:
\text{em }t=0:\quad a\cdot1 + b\cdot0 = 0\\ \Rightarrow\\ a=0,
\text{em }t=\frac{\pi}{2}:\quad a\cdot0 + b\cdot1 = 0\\ \Rightarrow\\ b=0.
Como a única solução é a=b=0, concluímos que não há combinação não trivial.

Resposta

As funções f_{1} e f_{2} são linearmente independentes.

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