Os vetores u=(1,2,3), v=(3,2,1) e w=(-3,2,7) são L.I. em R^3 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta se os vetores u = (1, 2, 3) , v = (3, 2, 1) e w = (-3, 2, 7) são linearmente independentes (L.I.) no espaço R^3 . Para resolver isso, precisamos entender o que significa linearmente independentes e como verificar isso usando um determinante de uma matriz formada por esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Três vetores são L.I. se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Em termos práticos, se formos montar uma matriz com esses vetores como colunas e o determinante dessa matriz for diferente de zero, então os vetores são L.I.

Passo 3

Vamos montar a matriz usando os vetores u , v e w como colunas:
A = 1 & 3 & -3 2 & 2 & 2 3 & 1 & 7
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Para calcular o determinante da matriz A , usamos a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para simplicidade:
det(A) = 1 cdot (2 cdot 7 - 2 cdot 1) - 3 cdot (2 cdot 7 - 2 cdot 3) + (-3) cdot (2 cdot 1 - 2 cdot 3)
Calculando cada parte:
1 cdot (14 - 2) = 12
-3 cdot (14 - 6) = -3 cdot 8 = -24
-3 cdot (2 - 6) = -3 cdot (-4) = 12
Somando tudo:
12 - 24 + 12 = 0

Resposta

O determinante da matriz é igual a zero, o que significa que os vetores u , v e w não são linearmente independentes em R^3 .

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