Determine se o conjunto A é L.D. ou L.I.
(a) A=\left\{2 x-x^{2}, 3+x,-1+3 x^{2}\right\},

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto
A = \{\,2x - x^{2},\;3 + x,\;-1 + 3x^{2}\}
é linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.) no espaço \mathcal P_{2} de polinômios de grau até 2. Para isso, vamos verificar se a única combinação linear que dá o polinômio zero é a combinação trivial.

Passo 2

Considere constantes \,c_{1},c_{2},c_{3} tais que
c_{1}(2x - x^{2}) \;+\; c_{2}(3 + x)\;+\;c_{3}(-1 + 3x^{2}) \;=\;0
para todo x. Se a única solução for c_{1}=c_{2}=c_{3}=0, então A é L.I.; caso contrário, é L.D.

Passo 3

Agrupando termos segundo as potências de x, temos
c_{1}(2x - x^{2}) + c_{2}(3 + x) + c_{3}(-1 + 3x^{2}) = (-c_{1} + 3c_{3})\,x^{2} \;+\;(2c_{1} + c_{2})\,x \;+\;(3c_{2} - c_{3}).
Como isso deve ser o polinômio zero, os coeficientes satisfazem
\begin{cases} -\,c_{1} + 3\,c_{3} = 0,\\\\ 2\,c_{1} + c_{2} = 0,\\\\ 3\,c_{2} - c_{3} = 0. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema por substituição:
Da primeira equação vem \,c_{1}=3c_{3}.
Substituindo na segunda:
2(3c_{3}) + c_{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_{2} = -6\,c_{3}.
Substituindo c_{2}=-6c_{3} na terceira:
3(-6c_{3}) - c_{3} = -18c_{3} - c_{3} = -19c_{3} = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_{3}=0.
Então c_{3}=0 implica c_{1}=0 e c_{2}=0.

Passo 5

A única solução é c_{1}=c_{2}=c_{3}=0. Logo, não há combinação linear não trivial que anule os polinômios de A.

Resposta

O conjunto A é linearmente independente.

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