Determine o subespaço gerado pelos seguintes conjuntos:
(c) A=\{(1,0,-1),(3,-2,1),(0,-1,2)\}).
Passo 1
O enunciado pede o subespaço gerado pelo conjunto \displaystyle A = \{(1,0,-1),(3,-2,1),(0,-1,2)\}
em \mathbb{R}^3. Vamos usar conceitos de combinação linear, independência e base para encontrar uma descrição paramétrica e também a forma implícita desse subespaço.
Passo 2
Denotando \displaystyle v_1=(1,0,-1),\;v_2=(3,-2,1),\;v_3=(0,-1,2)\),
procuramos escalares \(a,b\) tais que
\[a\,v_1 + b\,v_2 = v_3.
Isso leva ao sistema
\begin{cases} a + 3b = 0,\\\\ -2b = -1,\\\\ -\,a + b = 2. \end{cases}
Da segunda equação vem b=\tfrac12\]; da primeira, \(a=-3b=-\tfrac32. Substituindo na terceira, -(-\tfrac32)+\tfrac12=2, confirma-se que existe solução.
Passo 3
Como v_3 é combinação linear de v_1 e v_2, temos
\spanop\{v_1,v_2,v_3\} = \spanop\{v_1,v_2\}.
Além disso, v_1 e v_2 são linearmente independentes (não há escalar que transforme um no outro). Logo elas formam uma base do subespaço, de dimensão 2, e em forma paramétrica