Determine o subespaço gerado pelos seguintes conjuntos:
(c) A=\{(1,0,-1),(3,-2,1),(0,-1,2)\}).

Passo 1

O enunciado pede o subespaço gerado pelo conjunto \displaystyle A = \{(1,0,-1),(3,-2,1),(0,-1,2)\}
em \mathbb{R}^3. Vamos usar conceitos de combinação linear, independência e base para encontrar uma descrição paramétrica e também a forma implícita desse subespaço.

Passo 2

Denotando \displaystyle v_1=(1,0,-1),\;v_2=(3,-2,1),\;v_3=(0,-1,2)\), procuramos escalares \(a,b\) tais que \[a\,v_1 + b\,v_2 = v_3.
Isso leva ao sistema
\begin{cases} a + 3b = 0,\\\\ -2b = -1,\\\\ -\,a + b = 2. \end{cases}
Da segunda equação vem b=\tfrac12\]; da primeira, \(a=-3b=-\tfrac32. Substituindo na terceira, -(-\tfrac32)+\tfrac12=2, confirma-se que existe solução.

Passo 3

Como v_3 é combinação linear de v_1 e v_2, temos
\spanop\{v_1,v_2,v_3\} = \spanop\{v_1,v_2\}.
Além disso, v_1 e v_2 são linearmente independentes (não há escalar que transforme um no outro). Logo elas formam uma base do subespaço, de dimensão 2, e em forma paramétrica
\spanop(A) =\bigl\{\alpha(1,0,-1)+\beta(3,-2,1)\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\bigr\}.

Passo 4

Para obter a forma implícita, buscamos um vetor normal n=(a,b,c)\) ao plano gerado por \(v_1,v_2\) resolvendo \[n\cdot v_1 = 0,\quad n\cdot v_2 = 0,
isto é
\begin{cases} a - c = 0,\\\\ 3a -2b + c = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem c=a\]; inserindo na segunda obtém-se \(4a-2b=0, ou b=2a. Tomando a=1, um normal é n=(1,2,1). A equação do plano é
x + 2y + z = 0.

Resposta

O subespaço gerado por A é o plano de \mathbb{R}^3 de equação
x + 2y + z = 0,
que em forma paramétrica pode ser escrito como
\bigl\{\alpha(1,0,-1)+\beta(3,-2,1)\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\bigr\}.

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